Таблица интеграла вероятности лапласа

Локальная интегральная теоремы Лапласа — теория и задачи Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Зарегистрируйтесь на и будьте в курсе новостей проекта! Высшая математика: Не нашлось нужной задачи? Учимся решать: Аналитическая геометрия: Элементы высшей алгебры: Пределы: Производные функций: Функции и графики: ФНП: Интегралы: Дифференциальные уравнения: Числовые ряды: Функциональные ряды: Кратные интегралы: Комплексный анализ: Теория вероятностей: Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, мне об этом Кнопка для сайта: Когда нет времени: Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену Локальная интегральная теоремы Лапласа Данная статья является естественным продолжением урока она котором мы познакомились с и отработали типовые примеры по теме. Локальная интегральная теоремы Лапласа Муавра-Лапласа решают аналогичную задачу с тем отличием, что они применимы к достаточно большому количеству независимых испытаний. Не нужно тушеваться слов «локальная», «интегральная», «теоремы» — материал осваивается с той же лёгкостью, с какой Лаплас потрепал кучерявую голову Наполеона. Поэтому безо всяких комплексов и предварительных замечаний сразу же рассмотрим демонстрационный пример: Монета подбрасывается 400. Найти вероятность того, что орёл выпадет 200. По характерным признакам здесь следует применить. Вспомним смысл этих букв: — вероятность того, что в независимых испытаниях случайное событие наступит ровно раз; — ; — вероятность появления события в каждом испытании; — вероятность противоположного события. Применительно к нашей задаче: — общее количество испытаний; — количество бросков, в которых должен выпасть орёл; — вероятность выпадения орла в каждом броске; — вероятность выпадения решки. Таким образом, вероятность того, что в результате 400 бросков монеты орёл выпадет ровно 200 раз: …Стоп, что делать дальше? Микрокалькулятор по крайне мере, мой не справился с 400-й степенью и капитулировал. Заостряю ваше внимание, что получено точное значение и такое решение вроде бы идеально. Перечислим веские контраргументы: — во-первых, программного обеспечения может не оказаться под рукой; — и во-вторых, решение будет смотреться нестандартно с немалой вероятностью придётся перерешивать ; Поэтому, уважаемые читатели, в ближайшем будущем нас ждёт: Локальная теорема Лапласа Если вероятность появления случайного события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в испытаниях событие наступит ровно раз, приближённо равна:. При этом, чем большетем рассчитанная вероятность будет лучше приближать точное значениюполученное хотя бы гипотетически по формуле Бернулли. Рекомендуемое минимальное количество испытаний — примерно 50-100, в противном случае результат может оказаться далёким от истины. Кроме того, локальная теорема Лапласа работает тем лучше, чем вероятность ближе к 0,5, и наоборот — даёт существенную погрешность при значенияхблизких к нулю либо единице. По этой причине ещё одним критерием эффективного использования формулы является выполнение неравенства. Так, например, еслито и применение теоремы Лапласа для 50-ти испытаний оправдано. Но если ито и приближение к точному значению будет плохим. О том, почему и об особенной функции мы поговорим на уроке о нормальном распределении вероятностей, а пока нам потребуется формально-вычислительная сторона вопроса. В частности, важным фактом является этой функции:. Оформим официальные отношения с нашим примером: Задача 1 Монета подбрасывается 400. Найти вероятность того, что орёл выпадет ровно: а 200 раз; б 225. С чего начать решение? Сначала распишем известные величины, чтобы они были перед глазами: — общее количество независимых испытаний; — вероятность выпадения орла в каждом броске; — вероятность выпадения решки. Ввиду большого количества испытаний используем локальную теорему Лапласа:. На первом шаге вычислим требуемое значение аргумента: Далее находим соответствующее значение функции:. Это можно сделать несколькими способами. В первую очередь, конечно же, напрашиваются непосредственные вычисления: Округление проводят, как правило, до 4-х знаков после запятой. Недостаток прямого вычисления состоит в том, что экспоненту переваривает далеко не каждый микрокалькулятор, кроме того, расчёты не особо приятны и отнимают время. Используйте пункт 4 и получайте значения моментально! Кроме того, существует таблица значений функциикоторая есть практически в любой книге по теории вероятностей, в частности, в учебном пособии Закачайте, кто ещё не закачал — там вообще много полезного ;- И обязательно научитесь пользовать таблицей прямо сейчас! На заключительном этапе применим формулу : — вероятность того, что при 400 бросках монеты орёл выпадет ровно 200. Как видите, полученный результат очень близок к точному значениювычисленному. Используем локальную теорему Лапласа. Раз, два, три — и готово: — искомая вероятность. Ответ: Следующий пример, как многие догадались, посвящён деторождению — и это вам для самостоятельного решения : Задача 2 Вероятность рождения мальчика равна 0,52. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется ровно: а 40 мальчиков, б 50 мальчиков, в 30 девочек. Результаты округлить до 4-х знаков после запятой. Примерный образец оформления задачи в конце урока. Все заметили, что числа получаются достаточно малыми, и это не должно вводить в заблуждение — ведь речь идёт о вероятностях отдельно взятых, локальных значениях отсюда и название теоремы. А таковых значений много, и, образно говоря, вероятности «должно хватить на всех». Правда, многие события. Поясню вышесказанное на примере с монетами: в серии из четырёхсот испытаний орёл теоретически может выпасть от 0 до 400 раз, и данные события образуют : Однако бОльшая часть этих значений представляет собой сущий мизер, так, например, вероятность того, что орёл выпадет 250 раз — уже одна десятимиллионная:. А теперь задумаемся: как вычислить данную вероятность? Не считать же по сумму: Гораздо проще эти значения объединить. Функция называется функцией Лапласа, и её значения опять же сведены в стандартную таблицу найдите и научитесь с ней работать!! Микрокалькулятор здесь не поможет, поскольку интеграл является неберущимся. Но вот в Экселе есть соответствующий функционал — используйте пункт 5. На практике наиболее часто встречаются следующие значения: — перепишите к себе в тетрадь. Начиная сможно считать, чтоили, если записать строже: Кроме того, функция Лапласа :и данное свойство активно эксплуатируется в задачах, которые нас уже заждались: Задача 3 Вероятность поражения стрелком мишени равна 0,7. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена от 65 до 80. По условию требуется найти вероятность того, что мишень будет поражена не менее 65, но и не более 80-ти раз, а значит, нужно использовать интегральную теорему Лапласа:где Для удобства перепишем исходные данные в столбик: — всего выстрелов; — минимальное число попаданий; — максимальное число попаданий; — вероятность попадания в мишень при каждом выстреле; — вероятность промаха при каждом выстреле. Вычислим значения аргументов: Обращаю ваше внимание, что произведение вовсе не обязано нацело извлекаться из-под корня как любят «подгонять» числа авторы задач — без тени сомнения извлекаем корень и округляем результат; я привык оставлять 4 знака после запятой. А вот полученные значения обычно округляют до 2-х знаков после запятой — эта традиция идёт из таблицы значений функциигде аргументы представлены именно в таком виде. Используем указанную выше таблицу либо пункт 5. В качестве письменного комментария советую поставить следующую фразу: значения функции найдём по соответствующей таблице: — вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена от 65 до 80. Обязательно пользуемся нечётностью функции! На всякий случай распишу подробно: Дело в том, что таблица значений функции содержит только положительные «икс», а мы работаем по крайне мере, по «легенде» с таблицей! Ответ: Результат чаще всего округляют до 4-х знаков после запятой опять же в соответствии с форматом таблицы. Для самостоятельного решения: Задача 4 В здании имеется 2500 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что вечером будет включено не менее 1250 и не более 1275 ламп. Примерный образец чистового оформления в конце урока. Следует отметить, что рассматриваемые задачи очень часто встречаются в «обезличенном» виде, например: Производится некоторый опыт, в котором случайное событие может появиться с вероятностью 0,5. Опыт повторяется в неизменных условиях 2500. Определить вероятность того, что в 2500 опытах событие произойдет от 1250 до 1275 раз И подобных формулировок выше крыши. По причине трафаретности задач условие нередко стремятся завуалировать — это «единственный шанс» хоть как-то разнообразить и усложнить решение: Задача 5 В институте обучается 1000 студентов. В столовой имеется 105 посадочных мест. Каждый студент отправляется в столовую на большой перемене с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что в обычный учебный день: а столовая будет заполнена не более чем на две трети; б посадочных мест на всех не хватит. Решение: используем интегральную теорему Лапласагде В данной задаче: — всего студентов в институте; — вероятность того, что студент отправится в столовую на большой перемене; — вероятность противоположного события. Это значит, что на большой перемене придут от 0 до 70 человек. То, что никто не придёт или придут всего несколько студентов — есть событияоднако в целях применения интегральной теоремы Лапласа эти вероятности все равно следует учесть. Таким образом: Вычислим соответствующие аргументы: В результате: — вероятность того, что в обычный учебный день столовая будет заполнена не более чем на две трети. Напоминание : при функцию Лапласа считаем равной. Понятно, что высокая посещаемость невероятна, но тем не менее:. Рассчитываем аргументы: Таким образом, вероятность того, что посадочных мест на всех не хватит: Ответ: Используялегко найти вероятность того, что в обычный учебный день на большой перемене в столовой будут заняты от 71 до 105 посадочных мест: Также хочу коснуться оговорки «в ОБЫЧНЫЙ учебный день». Я специально добавил её к условию. Она обеспечивает относительную неизменность ситуации. Заключительный пример для самостоятельного решения: Задача 6 В обычный учебный день вероятность присутствия студента на лекции равна 0,8. Найти вероятность того, что из 100 студентов на лекции будут присутствовать: а 85-90%; б половина студентов; в не менее 72 студентов. Постарайтесь не пропускать задание ;- Краткое решение и ответ совсем близко. Здесь, несмотря на оговорку, все равно не всё гладко: известно, что процент прогулов у юношей заметно отличается от аналогичного показателя у девушек, поэтому усреднённая оценка несколько некорректна. Если навстречу прошагает рота солдат. Многие думают, что шансы встретить мужчину либо женщину составляют примерно 50 на 50 и даже встреча подряд 10-ти прохожих одного пола крайне маловероятна. Решения и ответы: Задача 2: Решение: по условию: — всего новорожденных; — вероятность рождения мальчика. Тогда: — вероятность рождения девочки. Используем локальную теорему Лапласа : а Примечание : «икс» обычно округляют до 2-х знаков после запятой. Примечание : на практике часто пользуются стандартной таблицей значений функциигде даны только положительные значения «икс», поэтому при оформлении решения «минус» всегда лучше «убрать» ввиду чётности функции. Ответ : Задача 4: Решение: используем интегральную теорему Лапласа:где:— функция Лапласа. В данной задаче: — всего ламп в здании; — минимальное количество одновременно включенных ламп; — максимальное количество одновременно включенных ламп; — вероятность того, что лампа включена для каждой из ламп ; — вероятность противоположного события. Вычислим аргументы: Значения функции найдём по соответствующей таблице: — вероятность того, что вечером будет включено не менее 1250 и не более 1275 ламп. Ответ : Задача 6: Решение: в данной задаче: — всего студентов; — вероятность присутствия студента на лекции; — вероятность отсутствия студента на лекции. Используем интегральную теорему Лапласа: ; В данном случае: Таким образом: — вероятность того, что на лекции будут присутствовать 85-90% от 100 студентов. В результате: — вероятность того, что на лекции будут присутствовать не менее 72-х студентов. Ответ : Автор: Емелин Александр Переход на главную страницу.

Похожие документы
Карта сайта
Обувь из италии
Стихи до глубины души
Заблокированные номера телефонов список

Комментарии
  • Таблица значений интеграла вероятностей табл. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: , где ,.